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GCD and LCM
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65535/65535 K (Java/Others)Total Submission(s): 2151 Accepted Submission(s): 955
Problem Description
Given two positive integers G and L, could you tell me how many solutions of (x, y, z) there are, satisfying that gcd(x, y, z) = G and lcm(x, y, z) = L? Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z. Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.
Input
First line comes an integer T (T <= 12), telling the number of test cases. The next T lines, each contains two positive 32-bit signed integers, G and L. It’s guaranteed that each answer will fit in a 32-bit signed integer.
Output
For each test case, print one line with the number of solutions satisfying the conditions above.
Sample Input
2 6 72 7 33
Sample Output
72 0
Source
题意：给出三个数的最大公约数和最小公倍数，让求abc这三个数可能的情况，注意ABC的位置不同算不同的情况
考虑先分解最小公倍数。合数分解后，再分解最大公约数，可知，如果最大公约数中有最小公倍数中没有的质因数因子的话，那么答案肯定为0
然后考虑每一个因子pi有设合数分解最小公倍数的个数为bi合数分解最大公约数的个数为bi
下面有两种考虑方法
排列组合：易得三个数中的对于pi的情况必须有一个个数是bi，另一个是ai，然后就可以先选出两个位置一个bi一个ai然后最后一个位置上的个数一定介于ai和bi之间即（bi-ai-1）种情况。
所以最后的公式为ans *= A(3,2)*(bi-ai-1) = 6*(bi-ai-1) ;
注意，如果先筛素数的时候筛到1^6 然后如果L除以最后一个素数的时候不等于1，那么说明它（L的最后一个因子）一定是大于10^6的一个素数，因为10^12 = 10^6^2 > x^2>y;如果y存在一个非素数的因子k的话，有k*t = y 且k>x,则t<x则t已经被筛掉了。所以剩下的因子一定是素因子。一开始没有考虑这种特殊情况wa掉了。。。
注意，还要注意只有当(bi-ai-1) 有意义的时候才可以计算，因为如果bi==ai的时候可以发现正确结果是对于这一位应该是只用一种情况，就是三个数都相等，所以要特判一下。。。。后来又因为这个wa了一次~~~~(>_<)~~~~
容斥定理：同样是考虑每个因子，有所有的情况是每个位置都可以取（bi-ai+1）种情况即(bi-ai+1)^3，要减去没有bi个因子的情况和没有ai个因子的情况即2*(bi-ai)^3
然后发现减多了，要加上同时没有因子ai和bi的情况即(bi-ai-1)^3
这里同样要注意上面的注意。
1 //合数分解 2 #include3 #include 4 #include 5 using namespace std; 6 #define ll long long 7 const int maxn = 1000005; 8 int prime[maxn]; 9 bool pri[maxn];10 int cnt;11 void init()12 {13 cnt = 0;14 pri[0] = pri[1] = 1;15 //prime[0] = 2;16 for(int i = 2; i < maxn; i++){17 if(!pri[i]){18 19 prime[cnt++] = i;20 for(int j = i+i; j < maxn; j+=i)21 {22 pri[j]=1;23 }24 }25 }26 return;27 }28 ll m1[10005],m2[10005];29 ll c1[10005],c2[10005];30 int main()31 {32 init();33 int T;34 ll G,L;35 scanf("%d",&T);36 while(T--)37 {38 memset(m1,0,sizeof(m1));39 memset(c1,0,sizeof(c1));40 memset(m2,0,sizeof(m2));41 memset(c2,0,sizeof(c2));42 scanf("%lld%lld",&G,&L);43 int tm = 0;44 bool in = 0;45 bool fl = 1;46 //printf("%d\n",prime[1]);47 if(L%G) fl = 0;48 for(int i = 0; i< cnt; i++){49 while(prime[i]<=L&&L%prime[i]==0){50 L = L/prime[i];51 m2[tm] = prime[i];52 c2[tm]++;53 in = 1;54 }55 if(in) tm++;56 in = 0;57 }58 if(L!=1){59 m2[tm] = L;60 c2[tm] = 1;61 tm++;62 }63 for(int i = 0; i < tm; i++){64 while(m2[i]<=G&&G%m2[i]==0){65 G = G/m2[i];66 m1[i] = m2[i];67 c1[i]++;68 }69 in = 0;70 }71 if(G!=1){72 fl = 0;73 }74 /*puts("haha");75 for(int i = 0; i < tm; i++){76 printf("m1[%d]=%d; m2[%d]=%d;\n",i,m1[i],i,m2[i]);77 printf("c1[%d]=%d; c2[%d]=%d;\n",i,c1[i],i,c2[i]);78 }79 */80 if(fl==0) {puts("0"); continue;}81 ll ans = 1;82 for(int i = 0; i < tm; i++){83 //需要特判当c1[i] =c2[i]的情况84 ll E;85 if(c1[i]==c2[i]) E = 0;86 else E = c2[i]-c1[i]-1;87 /*88 也可以用排列组合的想法，每次找到两个数包含首尾的两个值，然后中间的一个在从所有可能中选取一个。89 这样最后的公式就是A(3,2)*(c2[i]-c1[i]-1);90 所以91 if(c2[i]>c1[i]) ans = ans*6*(c2[i]-c1[i]-1);92 */93 ans = ans*((c2[i]-c1[i]+1)*(c2[i]-c1[i]+1)*(c2[i]-c1[i]+1)-2*(c2[i]-c1[i])*(c2[i]-c1[i])*(c2[i]-c1[i])+E*E*E);94 }95 printf("%lld\n",ans);96 }97 return 0;98 }